無限巡回群<a>から群Gへの準同型
定理
各$ x\in Gに対して、
$ f_x:\lang a\rang \to G,\; a^k\mapsto x^k\; (k\in\mathbb{Z})
によって定まるものが全てである
逆に言えば、$ \lang a\rang\to Gな準同型を一つ構成すれば
絶対にどれかの$ xに対して、上のような定義の写像になっている
考えた時点で存在する準同型が全部把握済みになっているmrsekut.icon
証明
$ aは無限位数なので、$ \forall k,l\in\mathbb{Z}に対して $ a^k=a^l\Rightarrow k=l\Rightarrow x^k=x^l
また、$ \forall k,l\in\mathbb{Z}に対して、
$ f_x(a^k)f_x(a^l)=x^kx^l=x^{k+l}=f_x(a^{k+l})=f_x(a^ka^l)
となるので、$ f_xは準同型写像
また、$ fを任意の準同型写像とする時、
$ y=f(a)とおけば、$ \forall k\in\mathbb{Z}に対して
$ f(a^k)=f(a)^k=y^k=f_y(a^k)
となるので、$ f=f_y